Black-Scholes 期权定价模型学习笔记

1. Black-Scholes 公式简介

Black-Scholes 模型是用来计算欧式期权（只能在到期时行权）的理论价格的数学模型。该模型通过考虑标的资产价格、执行价格、波动率、无风险利率以及到期时间等因素，来推导出期权的理论价格。具体公式如下：

对于看涨期权 (Call Option) 的定价公式：

C = S_0 * N(d1) - X * e^(-rT) * N(d2)

其中：

C 是看涨期权的理论价格（CallTheo）。
S_0 是标的资产的当前价格。
X 是期权的执行价格（Strike）。
r 是无风险利率。
T 是到期时间（文档中的TimeLeft）。
N(d1) 和 N(d2) 是标准正态分布的累积分布函数值。

2. d1 和 d2 的计算公式

在 Black-Scholes 公式中，两个关键变量 d1 和 d2 用来计算 N(d1) 和 N(d2)，它们的计算公式如下：

d1 = [ln(S_0 / X) + (r + σ²/2)T] / σ√T
d2 = d1 - σ√T

其中：

S_0 是标的资产的当前价格。
X 是期权的行权价格。
r 是无风险利率。
σ 是标的资产的波动率（文档中的Vol）。
T 是到期时间，以年为单位。

3. N(d1) 和 N(d2) 的含义

N(d1)：表示标的资产价格相对于行权价上涨的概率。它结合了期权的时间价值和波动率，反映了未来期权可能会被行权的概率。
N(d2)：表示期权到期时，标的资产价格高于执行价格的概率。它更多反映了期权到期时的行权可能性。

通过累积分布函数 N(x)，我们可以找到 d1 和 d2 在标准正态分布下的概率值。

4. Black-Scholes 公式计算过程（示例）

以文档中的数据为例，来计算看涨期权的理论价格 (CallTheo) 为 202.02 的过程：

已知数据：

Strike (执行价格): 3000.0
Vol (波动率): 12.0% (即 σ = 0.12)
TimeLeft (到期时间): 25 天 (转换为年 T = 25/365 ≈ 0.0685)
d1: 1.739777
d2: 1.702277

我们假设标的资产当前价格 S_0 = 3200（通常为Atmfwd，即“at the money forward”的值），无风险利率 r 为 0.05（5%）。

计算步骤：

将TimeLeft转为年数：T = 25/365 ≈ 0.0685。
标准正态分布累积分布函数值：
- N(d1) ≈ 0.959
- N(d2) ≈ 0.955
计算期权理论价格：
```
C = 3200 * 0.959 - 3000 * e^(-0.05 * 0.0685) * 0.955
C = 3068.8 - 2854.49 ≈ 214.31
```
计算结果约为 214.31，与文档中的 202.02 较为接近，可能由于参数微小差异导致的误差。

5. N(d1) 和 N(d2) 的计算细节

N(d1) 和 N(d2) 是标准正态分布的累积分布函数值，表示标的资产价格在未来超过执行价格的概率。具体计算方法有两种：

标准正态分布表：在表中查找对应的 d1 和 d2 值。例如，d1 = 1.739777，对应的累积分布函数值 N(d1) ≈ 0.959。
程序计算：可以通过编程语言来计算，例如使用 Python 的 scipy.stats.norm.cdf() 函数。

6. 总结

Black-Scholes 模型通过计算 d1 和 d2，并将它们带入标准正态分布中得到的概率值 N(d1) 和 N(d2)，推导出期权的理论价格。
N(d1) 表示标的资产价格上涨的概率，N(d2) 代表到期时超过行权价的概率。
这些计算帮助我们理解期权定价背后的概率及其市场表现。

学习提示

初学者应重点掌握 d1 和 d2 的计算，以及标准正态分布在期权定价中的作用。
理解期权的定价逻辑有助于更好地分析市场中期权的波动及风险。